理解量子躍遷與量子決策過程

 想像一下，電子就像是一個住在樓房裡的人。每個樓層代表一個不同的能量等級，也就是量子態。

 *上下樓就是量子躍遷： 當這個人決定從一個樓層搬到另一個樓層，就發生了一次量子躍遷。

 * 搬家需要能量： 要搬家，這個人需要消耗能量，或者獲得能量。這就像電子在量子躍遷時，需要吸收或釋放能量，通常以光子的形式。

 * 不確定性： 你無法準確預測這個人什麼時候會搬家，搬到哪一層樓。這就像量子躍遷的概率性，我們只能計算出發生某種躍遷的概率。

 * 特殊規則： 量子世界有一些特殊的規則，比如說，這個人搬家時，可能會直接「穿過」牆壁，而不是走樓梯。這就像量子隧穿現象。

再舉個例子，就像玩樂高積木。

 * 每塊積木都是一個量子態： 每一塊積木代表一個不同的量子態。

 * 搭建積木就是量子躍遷： 將積木拼在一起的過程，就相當於量子系統從一個狀態躍遷到另一個狀態。

 * 無限可能： 你可以將積木拼成各種不同的造型，這就像量子系統可以處於無數種不同的疊加態。

量子躍遷的重點是：

 * 量子躍遷是不連續的： 電子不是慢慢滑動從一個能量級到另一個能量級，而是瞬間跳躍。

 * 量子躍遷是隨機的： 我們無法準確預測下一次躍遷會發生在哪個時刻，躍遷到哪個狀態。

量子躍遷的數學描述

基本概念

 * 量子態： 用狄拉克符號 ∣ψ(t)⟩ 表示，是量子系統在時刻 t 的狀態，包含了系統的所有信息。

 * 哈密頓量： 用 H 表示，是一個算符，代表系統的能量。

 * 波函數： ∣ψ(t)⟩ 也可以看作是波函數，描述了粒子在空間中的概率分布。

 * 量子躍遷： 量子系統從一個量子態 ∣n⟩ 躍遷到另一個量子態 ∣m⟩ 的過程。

 * 概率幅： 用 cnm(t) 表示，描述從態 ∣n⟩ 躍遷到態 ∣m⟩ 的概率振幅。

薛定諤方程與時間演化

量子系統的時間演化由薛定諤方程描述：

iħ(∂/∂t) |ψ(t)⟩ = H |ψ(t)⟩

其中，ħ 是約化普朗克常數。這個方程表明，系統的狀態隨時間的變化是由哈密頓量決定的。

量子態的展開

如果系統的初始態為 ∣n⟩，那麼在時刻 t 的狀態可以展開為：

|ψ(t)⟩ = ∑m cnm(t) |m⟩

這意味著，系統在時刻 t 處於各種可能狀態 ∣m⟩ 的疊加態，而 cnm(t) 表示系統處於狀態 ∣m⟩ 的概率幅。

躍遷概率

從初始態 ∣n⟩ 躍遷到最終態 ∣m⟩ 的概率 Pn→m 可以表示為：

Pn→m = |cnm(t)|²

這意味著，躍遷概率等於概率幅的模的平方。

概率幅的時間演化

概率幅 cnm(t) 是時間的函數，它的具體形式由哈密頓量 H 和初始態 ∣n⟩ 決定。

 * 量子躍遷需要能量： 電子在躍遷時，會吸收或釋放能量。

量子躍遷就像是一個瞬間的跳躍，從一個狀態轉換到另一個狀態。 這個過程充滿了隨機性和不確定性，但又遵循著量子力學的規律。

cnm(t) 是一個複數，它的相位包含了系統的相位信息。

在量子力學中，常常用複數來描述量子態。複數之所以被廣泛使用，是因為它不僅包含了振幅（模長），還包含了相位信息。

 * 模長： |cnm(t)| 代表從初始態 ∣n⟩ 躍遷到最終態 ∣m⟩ 的概率幅。模長的平方 |cnm(t)|² 則直接給出了發生這種躍遷的概率。

 * 相位： 複數的相位則包含了更深層次的物理信息。它反映了量子態之間的相對相位關係。

相位的物理意義

 * 干涉： 量子疊加態的一個重要特徵就是干涉。當兩個量子態疊加時，它們的相位差會決定疊加後的量子態的振幅。如果兩個量子態的相位相同，它們就會發生建設性干涉，振幅增強；如果相位相反，則會發生破壞性干涉，振幅減弱。

 * 演化： 量子態隨時間演化，其相位也會發生變化。這意味著，即使兩個量子態初始時相位相同，經過一段時間後，它們的相位差可能會改變，從而影響它們的疊加結果。

 * 測量： 當我們對量子系統進行測量時，實際上是在測量系統的相位。不同的測量方式會對系統的相位產生不同的影響，從而導致不同的測量結果。

相位對量子躍遷的影響

 * 躍遷概率： 雖然相位不直接影響躍遷概率（由模長平方決定），但它會影響不同躍遷之間的相干性。

 * 疊加態： 如果一個系統處於多個量子態的疊加態，那麼這些量子態之間的相位差就會決定疊加態的性質。

實驗說明

我們有一個雙縫實驗。電子可以通過兩個狹縫到達屏幕。每個狹縫對應一個量子態。當電子通過兩個狹縫時，它處於這兩個量子態的疊加態。這兩個量子態的相位差決定了屏幕上出現的干涉條紋的圖樣。相位是量子世界中一個隱藏的變量，它雖然不直接影響概率，但卻影響著量子現象的表現。

我們可以將量子態類比於人類的決策行為，這樣的類比有助於理解量子躍遷中的隨機性與概率特性。

類比情境：

假設一個人面臨一個決策選擇：

• 初始狀態 $\mathrm{\mid }n⟩$ 代表這個人目前的想法或立場，假設這是「我要留在家裡」的決定。
• 另一個可能的狀態 $\mathrm{\mid }m⟩$ 代表「我要出門」，這是一個人可能做出的另一個選擇。

在做決策的過程中，這個人會經歷一個「內心掙扎」的過渡階段，這可以類比於量子躍遷過程中的概率幅 $c_{nm}(t)$：

• 在某個時刻，他更傾向於留在家裡，這時 $\mathrm{\mid }{c}_{nn}(t){\mathrm{\mid }}^2$ 的概率比較大。
• 隨著時間的推移，他可能會開始考慮其他選擇（如出門），這時 $c_{nm}(t)$ 的值開始增大。
• 決策過程中，隨機性和不確定性出現，可能有外部因素（例如朋友邀請、天氣變化）影響他的想法，這就像量子力學中隨機的外部條件影響量子態的轉換。

最終決策（躍遷完成）：

當這個人最終決定「出門」時，系統就從初始態 $\mathrm{\mid }n⟩$（留在家裡）跳到了最終態 $\mathrm{\mid }m⟩$（出門）。這個過程的成功概率就是決策過程的結果，可用 $P_{n\to m}=\mathrm{\mid }{c}_{nm}(t){\mathrm{\mid }}^2$ 表示。

在這個類比中：

1. 初始態 $\mathrm{\mid }n⟩$ 是一個人的最初決策，例如「我要留在家裡」。
2. 最終態 $\mathrm{\mid }m⟩$ 是他可能改變的決定，例如「我要出門」。
3. 概率幅 $c_{nm}(t)$ 表示內心掙扎的過程，這是一種隨著時間演變的決策改變的過渡階段。
4. 決策的最終概率 $P_{n\to m}$ 則代表這個人最終決定改變的可能性，類似於量子系統從一個態躍遷到另一個態的機率。

隨機性與概率：

就像量子躍遷過程中的隨機性一樣，人類的決策過程中也有不確定性。我們無法確切預測一個人在某個時間點會做出什麼決定，但我們可以根據當時的情況估計一個可能的結果，這與量子力學中的躍遷概率相似。

透過這種類比，可以更好地理解量子態的隨機性與人類在決策過程中的類似性。

如何預測量子躍遷？

* 量子退相干是警示的潛在來源：

   * 當一個量子系統逐漸失去量子相干性時，它可能處於一個不穩定的狀態，更容易發生量子躍遷。

   * 我們可以通過監測系統的量子相干性，來判斷它是否即將發生量子躍遷。

 * 警示可以幫助我們控制量子退相干：

   * 如果我們能夠提前感知到量子躍遷的「警示」，就可以採取措施來減緩或阻止量子退相干的發生，從而延長量子系統的相干時間。

   * 這對於量子計算等領域有著重要的意義，因為量子計算的實現需要保持量子比特的相干性。

通過研究量子退相干的機制，我們可以更深入地理解量子系統的演化過程，並為控制量子系統提供新的思路。

換句話說，量子退相干就像是量子系統的「健康檢查」，而警示則是我們在健康檢查中發現的「異常信號」。

拉比震盪與量子躍遷的關聯

簡單來說，當一個二能級系統（例如原子）處於外部振盪場（如電磁場）中時，系統的狀態會在兩個能級之間週期性振盪，這就是拉比震盪。這個週期性的振盪就好像是一個鐘擺，在兩個極端位置之間來回擺動。

拉比震盪可以看作是量子系統在兩個量子態之間的週期性躍遷。每一次振盪，系統的狀態就從一個量子態躍遷到另一個量子態，再躍遷回來。

拉比震盪作為警示：

   * 規律性： 拉比震盪的週期性非常規律，這意味著我們可以通過監測系統的狀態，提前預測下一次量子躍遷發生的時間。

   * 控制： 通過調整外部振盪場的強度和頻率，我們可以控制拉比震盪的週期，從而控制量子躍遷發生的時間。

 * 拉比震盪與量子退相干的競爭：

   * 環境影響： 如果系統受到環境的擾動，拉比震盪可能會被破壞，導致量子相干性喪失，也就是發生量子退相干。

   * 平衡： 拉比震盪和量子退相干是兩個相互競爭的過程。如果我們想要維持量子相干性，就需要儘量減小環境的擾動，確保拉比震盪能夠穩定進行。

拉比震盪在量子計算中的應用

 * 量子比特的操控： 在量子計算中，量子比特的狀態可以通過拉比震盪來操控。

 * 量子邏輯門： 許多量子邏輯門的操作都是基於拉比震盪實現的。

 * 量子糾纏： 拉比震盪可以用来產生量子糾纏態。

拉比震盪為我們提供了一個精確控制量子系統的方法。通過理解拉比震盪，我們可以更好地控制量子躍遷，延緩量子退相干，從而為量子計算等領域的發展奠定基礎。

最後用一個燈光開關遊戲的例子來解釋這三個概念：

• 拉比震盪是燈光開關遊戲中非常規律的開關過程，代表量子系統的穩定演化。
• 量子躍遷是每次燈在開和關之間的跳躍。
• 量子退相干則是當外界干擾影響燈的狀態，使得這個遊戲不再規律進行，類似量子系統被環境擾動影響，無法保持相干性。