一個法拉利級的金融場論模型

2026 年 2 月 12 日北京時間午夜 12 點，全球市場突發「無因閃崩」，貴金屬、美股與中概股集體重挫。現貨黃金在 30 分鐘內暴跌近 200 美元，跌幅超過 4%，最低觸及 4878.37 美元；現貨白銀跌幅達 11.3%，自 83 美元下挫至 74.44 美元；美股道瓊斯指數收跌 669 點，納斯達克指數跌逾 2%，蘋果市值蒸發 1200 億美元，中概股亦大幅走低，恐慌指數 VIX 飆升 18%。

此次閃崩缺乏明確的基本面誘因，關於 CPI 洩露或地緣局勢緩和的傳言皆無實證支持。核心推手在於市場微觀結構的脆弱性：黃金跌破 5000 美元關鍵支撐位後，大量止損單觸發瀑布式拋售；CTA 演算法模型的同質化操作加劇崩盤；高頻交易做市商撤離導致流動性瞬間枯竭；風險平價基金的被動減倉進一步放大波動。

白銀跌幅遠超黃金，主因在於其投機性倉位較高、期權部位集中、流動性不足且缺乏央行需求支撐，再加上對工業需求的擔憂與流動性擠兌的雙重衝擊。黃金則打破「避險神話」，與美股同步下跌，主要是因為在流動性緊縮情況下，投資人拋售高流動性資產以換取現金，並受到降息預期延後的利率因素影響。

這次閃崩同時揭露了宏觀層面的多重不確定性：美聯準會政策政治化提高決策不透明度；關稅成本轉嫁使通膨更具黏性；市場對 AI 的敘事由「信仰」轉向「恐懼」。對投資人而言，應汲取教訓，包括審慎使用槓桿、避免在整數關卡密集設置止損，以及重新認識流動性與避險資產的界限；對機構而言，則需加強策略壓力測試與危機應變機制。

這場「無因閃崩」本質上是由市場內部動力學驅動的非理性恐慌。儘管長期支撐金價上行的核心因素仍然存在，但事件也預示未來市場波動將更加劇烈，且其微觀結構已出現難以逆轉的變化。

把前面描述的機制寫成一個最小化的金融場論模型。目標不是精確預測，而是抓住三個核心結構：

1. 價格作為連續場
2. 流動性與槓桿作為耦合場
3. 臨界不穩定與級聯崩潰作為相變

一、理論架構的物理類比

拉格朗日量本質上是：

波動方程 + 雙井勢 + 場耦合 + 隨機驅動

這與以下物理系統高度同構：

金融場論模型	物理類比
價格場 $P(x,t)$	φ⁴ 場論（Landau-Ginzburg）
流動性場 $L$	表面張力/黏度場
風險場 $R$	外部磁場/應力場
$c$	訊息傳播速度（聲速）
$V(P)$	對稱性破缺勢能

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二、各項物理意義的深入解讀

1. 波動項的合理性

$$\frac{1}{2}(\partial_t P)^2 - \frac{c^2}{2}(\partial_x P)^2$$

物理意義：

• $c$ 是 訊息傳播速度（訂單簿更新的延遲）
• 在高頻交易中，$c$ 受限於 光速（光纖延遲約 5-10ms）
• 對於低頻，$c$ 更像是 市場參與者的反應時間尺度

潛在問題：

• 實際市場是離散的（tick size），連續場近似在劇烈波動時會失效
• 應該加入非局域項來描述訂單簿的厚度效應  (模型只看「最近成交」，就會嚴重低估一個區間的總量緩衝效果。)

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2. 雙井勢的關鍵假設

$$V(P) = \frac{\lambda}{4}(P-P_0)^4 - \frac{\mu}{2}(P-P_0)^2$$

這是模型的核心創新！

自發對稱性破缺來解釋：

• 支撐位/壓力位是系統的局部極小
• 破位是翻越勢壘的相變過程
• 瀑布是系統滾向新的穩定點

與傳統技術分析的對應：

物理量	技術分析
$P_0$	關鍵整數關卡（如 BTC 30000）
$\mu$	支撐強度
$\lambda$	極端價格的抑制（流動性枯竭）

改進： 實際的勢能應該是歷史依賴的：

$$V(P, t) = \int_{-\infty}^t K(t-t') \rho(P, t') dt'$$

其中 $\rho$是歷史成交量分佈。這會產生 動態支撐位。

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3. 流動性-價格耦合的非線性

$$\alpha L (\partial_x P)^2$$

物理意義：

• 高流動性 → 抑制價格不連續（類似表面張力）
• $L\to 0$ 價格可以自由斷裂（類似 潤濕相變）

與市場現象的對應：

• 正常市場：bid-ask spread 穩定，$L$ 大
• 流動性危機：做市商撤離，$\mathrm{L }$崩潰，出現 價格跳空

數學問題： 這一項在變分時會產生：

$$-2\alpha \partial_x (L \partial_x P)$$

當 $L$ 空間變化劇烈時，這是一個 退化拋物方程，可能產生有限時間爆破（finite-time blowup），對應閃崩。

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4. 風險場的正反饋

$$-\beta R P$$

這是最危險的非線性項！

當 $P\downarrow$：

1. 觸發止損 → $R\uparrow$
2. $R\uparrow$→ 產生有效下行力
3. $P$ 進一步下跌 → 級聯效應

與物理系統的類比：

• 類似鐵磁體的居里點（自發磁化）
• 或者雪崩模型（SOC - Self-Organized Criticality）

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三、場動力學的穩定性分析

流動性場的弛豫方程

$$\partial_t L = -D_L \nabla^2 L - \gamma |\partial_x P| L + \eta_L$$

問題：$\gamma |\partial_x P| L$ 項是 非線性耦合

當 $|\partial_x P|$ 劇烈時，$L$ 會 指數衰減：

$$L(t) \sim L_0 \exp(-\gamma \int |\partial_x P| dt)$$

這意味著流動性崩潰是不可逆的（除非有外部注入）。

改進： 加入流動性恢復項：

$$\partial_t L = -D_L \nabla^2 L - \gamma |\partial_x P| L + \kappa (L_\infty - L)$$

其中 $L_{\mathrm{\infty }}$ 是市場平穩時的流動性。

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風險場的止損機制

$$\partial_t R = D_R \nabla^2 R + \kappa H(P_c-P) - \delta R$$

階躍函數 $H$ 產生的問題 ：

• 在 $P=P_c$ 處，$R$ 會 不連續躍升
• 這會在運動方程中產生δ函數奇點

物理上更合理的形式：

$$\kappa H(P_c-P) \to \kappa \sigma(P_c - P)$$

其中 $\sigma$ 是平滑的階躍函數（如 Fermi-Dirac 函數）。

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四、相變條件的嚴格推導

定義的控制參數：

$$g = \frac{\beta \langle R \rangle}{\alpha \langle L \rangle}$$

這非常類似金茲堡-朗道理論！

在均勻場近似下，運動方程簡化為：

$$\partial_t^2 P + V'(P) + \beta \langle R \rangle = 0$$

穩態解滿足：

$$V'(P^*) = -\beta \langle R \rangle$$

臨界條件： 當 $$ 超過勢壘高度，系統失去局部極小值， 只能單向滾落。

數學上：

$$g_c = \frac{\max |V'(P)|}{\alpha \langle L \rangle_\text{min}}$$

---

五、統計性質的冪律行為

兩點關聯函數：

$$C(r) = \langle P(x)P(x+r) \rangle \sim r^{-\xi}$$

這是臨界現象的標誌！

在 $g\approx g_{\mathrm{c }}$附近，系統展現：

• 無標度性（scale-free）
• 長程關聯（long-range correlation）
• 厚尾分布（fat tail）

與金融數據的對比：

理論預測	實證觀察
$C(r) \sim r^{-\xi}$	指數 $H>0.5$
厚尾分布	冪律尾部 $P
波動聚集	GARCH 效應

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六、模型的根本侷限與改進方向

1. 時間尺度分離

實際市場有多時間尺度：

• 微秒：高頻訂單
• 分鐘：技術交易者
• 天：基本面

引入 慢變量-快變量耦合：

$$\mathcal{L} = \mathcal{L}_\text{fast}(P, L) + \mathcal{L}_\text{slow}(F, M)$$

其中 $F$ 是基本面，$M$ 是市場情緒。

2. 離散性與量子化

訂單簿是離散的（最小單位是 tick size）

引用格點場論（lattice field theory）：

$$\partial_x P \to \frac{P_{i+1} - P_i}{\Delta x}$$

3. 資訊不對稱

不同市場參與者的 $c$（訊息速度）不同：

• HFT：$c\sim$光速
• 散戶：$c\sim$ 人類反應速度

引入多速度場。

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七、實證檢驗的可能性

這個模型可以被檢驗！

建議的實證策略：

1. 估計 $c$：用高頻數據計算價格衝擊的傳播速度
2. 識別 $V(P)$：用 K線密度反推勢能形狀
3. 測量 $\xi$：計算價格變化的自相關函數
4. 驗證相變：在歷史閃崩數據中尋找 $g>g_c$的證據

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總結

這個模型是金融物理學的一次大膽嘗試，核心創新在於：

•  用場論統一描述價格、流動性、風險
•  用相變理論解釋閃崩
•  預測冪律分布與 VaR 失效

但也有待解決的問題：

問題1：離散性與連續場的矛盾

問題是什麼？

模型把價格當成連續的波浪，可以平滑變化。

但真實市場是階梯式的：

• 比特幣最小跳動是 0.01 美元（不能有 30000.0051 這種價格）
• 訂單簿是一格一格的（29999, 30000, 30001...）
• 成交只能發生在整數 tick 上

舉例說明矛盾：

方程假設：

$$P(x, t) = 30000.5678...$$

（價格可以是任意小數）

真實市場：

$$P \in \{29999.00, 30000.00, 30001.00\}$$

（只能跳格子）

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為什麼這很嚴重？

當價格劇烈波動時（比如閃崩），連續模型會預測：

"價格從 30000 平滑滑落到 29500"

但真實情況是：

"30000 → 29998 → 29995 → 跳空到 29800 → 29600"

中間有巨大的價格斷層，因為沒有人掛單在那些價位！

波動方程 ${\mathrm{\partial }}_t^{2}P-c^2{\mathrm{\partial }}_x^{2}P=\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$ 在這裡會 數值爆炸，因為：

$$\frac{\partial P}{\partial x} \approx \frac{29800 - 29995}{1 \text{ tick}} = -195$$

（梯度巨大，連續近似失效）

---

怎麼解決？

方案A：用格點模型（簡單但粗糙）

python

# 不用微分方程，改用差分方程
P[i, t+1] = P[i, t] + discrete_update(...)
# 每個 i 代表一個 tick（如 30000, 30001, 30002）
```

缺點：失去了場論的優雅數學結構。



方案B：混合模型（更真實）

把訂單簿分成兩層：
1. 連續背景場（代表大尺度趨勢）
2. 離散跳躍事件（代表訂單簿稀疏區的斷層）

$\sum_k$$A_k$$\delta(x - x_k)$
數學只是在描述：
用股市說：
股價 = 平常的漲跌 + 突然的跳空
什麼時候正常漲跌 （$P_{\text{smooth}}$）
什麼時候必須跳（$\sum A_k \delta$）

跳多遠（$A_k$）

在哪裡跳（$x_k$）
​​
（平滑部分 + 跳躍部分）

$\sum_k$$A_k$$\delta(x - x_k)$
這部分看起來很嚇人，我們拆開來看：
$\sum_k$


意思是「把所有跳空加起來」
$k$ 是編號：第1次跳空、第2次跳空、第3次...


$A_k$


第 $k$ 次跳空的大小

例如：

$A_1 = +10$（跳漲10元）

$A_2 = -50$（跳跌50元）




$x_k$

第 $k$ 次跳空發生的位置

例如：在 30005 元這個價位發生跳空

$\delta(x - x_k)$（狄拉克函數）

這是數學家的黑話，意思是：
python
if x == x_k:
    δ = 無限大（在這個點跳空）
else:
    δ = 0（其他地方沒事）
```

**白話翻譯：**
> 只在 $x_k$ 這個點發生跳空，其他地方都是平滑的

---

## **三、完整例子（一天的價格變化）**

### **早上 9:00 - 12:00（平穩期）**

只有 $P_{\text{smooth}}$ 在動：
```
09:00  價格 = 30000 元
10:00  價格 = 30050 元  （慢慢漲）
11:00  價格 = 30100 元
12:00  價格 = 30120 元
```

**數學表達：**
$$P(t) = P_{\text{smooth}}(t) + 0$$
（跳空項 = 0，因為沒跳空）

---

### **下午 2:00（突然跳空）**

假設：
- 在 30120 元這個位置，**沒人掛賣單**
- 下一個有賣單的位置是 30080 元（跌了40元）

**此時發生：**
```
14:00:00  價格 = 30120 元
14:00:01  價格 = 30080 元  （跳空！）
          ↑
          中間 30119, 30118... 都跳過了
```

**數學表達：**
$$P(t=14:00) = 30120 + (-40) \times \delta(x - 30120)$$

意思是：
- 平滑部分還是 30120
- 但在 30120 這個點加了一個 **-40 的跳空**
- 最終價格 = 30080

---

## **四、為什麼要這樣拆？**

### **問題：只用平滑場會怎樣？**

假設你堅持用 $P = P_{\text{smooth}}$（不允許跳空）

**那在 14:00:01 那一秒：**
```
電腦計算：
  從 30120 到 30080 需要經過 30119, 30118, 30117...
  但這些價位都沒人！
  → 程式崩潰（除以零錯誤）
```

**數學上：**
$$\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{30080 - 30120}{0.01 \text{秒}} = -4000 \text{ 元/秒}$$

**梯度太大，方程爆炸！**

---

### **解法：加上跳空項**

**跳空的瞬間：**
- 暫停使用平滑方程
- 直接跳到下一個有單的位置
- 跳完之後繼續用平滑方程

**數學上：**
$$P = \underbrace{30120}_{\text{跳之前}} + \underbrace{(-40)}_{\text{跳的幅度}} = 30080$$

**程式不會崩潰了！**

---

## **五、怎麼判斷什麼時候跳空？**

### **兩個條件（缺一不可）**

#### **條件1：流動性枯竭**
$$L(x) < 0.1$$
（這個價位幾乎沒人掛單）


> 訂單簿看起來像這樣：
```
價格   買單  賣單
30125   0     5   ← 只有5張（太少！）
30124   0     0   ← 空的
30123   0     0
30122   0     2

這是目前高頻交易研究的前沿，但數學非常複雜。



問題2：多時間尺度的缺失**

 問題是什麼？

模型只有**一個時鐘**（$t$），所有事情以同樣速度演化。

但真實市場有多個時鐘同時運行：

市場多時間尺度分析
Market Participants Across Different Time Scales
時間尺度
市場參與者
典型行為
微秒
高頻演算法
⚡搶單、套利
秒
程式交易
🤖執行大單
分鐘
散戶
👤看盤下單
小時
機構
🏢調倉
天
基本面
📊財報、新聞
超高頻交易
程式化交易
零售交易
機構投資
基本面分析
💡 時間尺度特性
微秒級：高頻交易演算法透過極低延遲的技術優勢，在市場微觀結構中尋找套利機會，每筆交易利潤極薄但頻率極高。

秒級：程式交易系統負責將大額訂單拆分成小單執行，以減少對市場的衝擊，同時運用各種執行演算法（如TWAP、VWAP）。

分鐘級：散戶投資人主要依據技術分析指標和即時行情進行交易決策，追求短線價差。

小時級：機構投資者基於投資策略進行倉位調整，考慮市場流動性和交易成本。

日級：基本面投資者關注公司財報、產業新聞、總體經濟數據等長期價值驅動因素。

**他們互相影響，但速度差1000倍以上！**

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### **為什麼這很嚴重？**

**舉個例子：**

假設現在是：
- **2025年2月13日 14:30:00.000**（財報公布前一秒）

你的模型會這樣演化：
```
t=0.000s: P=30000, 一切平靜
t=0.001s: P=30000.1（微小波動）
t=0.002s: P=30000.2
...
t=1.000s: P=30005（平滑上漲）
```

**真實市場：**
```
t=0.000s: P=30000（散戶在掛單，HFT在微調）
t=0.001s: P=30000（HFT已經交易了1000次，但價格不變）
t=1.000s: 💥 財報公布！
t=1.001s: P=32000（暴漲2000美元，因為基本面訊息）

模型完全沒有"財報"這個慢變量！

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更糟的情況：時間尺度耦合

HFT 的快速交易會慢慢改變流動性結構：

• 短期（秒級）：HFT 搶單 → 訂單簿被吃掉
• 中期（分鐘級）：做市商發現有人在搶單 → 撤單
• 長期（小時級）：流動性枯竭 → 價格容易閃崩

這是一個多尺度回饋循環，但模型只有一個 $\partial_t$，抓不到這種動態！

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怎麼解決？

方案：多時間尺度框架

把場拆成快變量和慢變量： $$\begin{cases} \text{快變量：} & P(x, t), \quad L(x, t) \quad (\text{秒級}) \ \text{慢變量：} & F(x, \tau), \quad M(x, \tau) \quad (\text{天級}) \end{cases}$$

其中：

• $F$：基本面（如公司估值）
• $M$：市場情緒（如恐慌指數）
• $\tau =t\mathrm{/}1000$（慢時間）

修正後的拉格朗日量：

$$\mathcal{L} = \underbrace{\mathcal{L}_{\text{fast}}(P, L)}_{\tex$$

例如：

$$\mathcal{L}_{\text{coupling}} = -\lambda (P - F)^2$$

（價格會被基本面拉回，但有延遲）

---

實際計算時：

python

# 快時間步（毫秒級）
for t in range(0, 1000):
    P, L = evolve_fast(P, L, F_fixed, M_fixed)

# 慢時間步（更新基本面）
F = evolve_slow(F, news_events)

# 耦合更新
P = P + coupling_term(P, F)

---

問題3：參數標定的實證困難

問題是什麼？

模型有一堆參數：

$$c, \lambda, \mu, \alpha, \beta, D_L, D_R, \gamma, \kappa, \delta, ...$$

至少10個以上！

從真實數據裡能直接測量到的只有：

•  價格 $P$（K線）
•  成交量 $V$（公開數據）

•  流動性場 $L$（ 看不到，要從訂單簿反推）
•  風險場 $R$（ 根本不存在，是你發明的抽象概念）

這就像：

有一個物理公式預測天氣，但只能測量溫度，測不到氣壓、濕度、風速...

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為什麼這很嚴重？

舉個實際例子：

假設你想估計 $\alpha$（流動性-價格耦合強度）。

理論上應該：

$$\alpha = \frac{\text{測量到的價格梯度變化}}{\text{測量到的流動性變化}}$$

但問題來了：

1. 怎麼測量 $L$？
   • 方案1：用 bid-ask spread 倒數 → 但這只是流動性的一個側面
   • 方案2：用訂單簿深度 → 但深度在不同價位差很多
   • 方案3：用市場衝擊函數 → 需要大量高頻數據，散戶拿不到
2. $L$ 和 $R$ 互相糾纏
   • 你看到的價格變化可能是 $L$ 下降導致的
   • 也可能是 $R$ 上升導致的
   • 甚至可能是兩者同時變化！
   • 你無法拆解它們的獨立貢獻
3. 過度擬合的陷阱
   • 10個參數，可以擬合任何曲線
   • 但換一組數據就全錯了
   • 模型看起來很準，實際上沒預測力

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更慘的情況：參數可能根本不是常數

基本假設 $\alpha ,\beta ,\mathrm{.}\mathrm{.}$ 是固定的。

但實際上：

• 在平靜時段：$\alpha$ 很大（高流動性抑制波動）
• 在恐慌時段：$\alpha \to 0$（做市商跑光了）

這意味著：

用歷史數據標定的參數，在閃崩時完全失效！

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怎麼解決？

方案A：用貝葉斯推斷（數學上嚴格，但計算很貴）

把所有參數當成機率分佈而非固定值：

$$p(\alpha ,\beta ,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{\mid }\text{數據})\propto p(\text{數據}\mathrm{\mid }\alpha ,\beta ,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})$$

優點：能量化不確定性
缺點：需要跑幾天的 MC 採樣

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方案B：階段性標定（實務上可行）

把市場分成不同狀態：

1. 平穩期（VIX < 15）→ 標定一組參數 $({\alpha }_1,{\beta }_1,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})$
2. 波動期（VIX 15-30）→ 標定另一組 $({\alpha }_2,{\beta }_2,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})$
3. 恐慌期（VIX > 30）→ 又一組 $({\alpha }_3,{\beta }_3,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.})$

使用時：

python

if VIX < 15:
    params = params_calm
elif VIX < 30:
    params = params_volatile
else:
    params = params_panic

問題：怎麼判斷現在是哪個狀態？（雞生蛋問題）

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方案C：機器學習輔助（前沿研究）

用神經網絡直接學習參數函數：

$$\alpha (t)=\text{NN}({\text{市場特徵}}_t)$$

輸入特徵：

• 過去1分鐘的波動率
• 訂單簿不平衡
• 成交量異常

輸出：

• 當前的 $\alpha ,\beta ,\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}$

缺點：完全失去物理解釋性，變成黑箱模型。

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這些問題意味著什麼？

理論框架在數學上很優雅，但要真正用它：

問題	影響	妥協方案
離散性	閃崩時數值爆炸	混合模型（連續+跳躍）
多時間尺度	抓不到基本面衝擊	快慢變量分離
參數標定	無法驗證預測	階段性標定 + 貝葉斯

最誠實的建議：

1. 先做簡化版
   • 只保留最核心的 3-4 個參數
   • 用簡單數據（如單一股票的5分鐘K線）
   • 不期望開始就想解釋所有現象
2. 對標現有模型
   • 比較新模型 vs GARCH模型 / Hawkes過程
   • 如果預測力沒更好，說明復雜度不值得模型比較分析

     比較維度	GARCH模型	Hawkes過程
     建模對象	價格波動率	事件到達率
     時間尺度	低頻到中頻（分鐘級以上）	超高頻（毫秒到秒級）
     資料類型	等間隔時間序列	不等間隔事件序列
     核心機制	波動率自我迴歸	事件自激勵
     參數估計	最大概似估計（MLE）	最大概似估計、EM演算法
     計算複雜度	中等	較高（特別是多維情況）
     優勢領域	風險管理、選擇權定價	市場微觀結構、訂單流分析
     市場應用	傳統資產管理、衍生品交易	高頻交易、做市商策略
     預測能力	短期波動率預測	短期事件發生時點預測
     理論基礎	時間序列分析	隨機點過程理論

3. 接受不完美
   • 物理模型的目標是定性理解（為什麼閃崩）
   • 不是定量預測（精確到小數點第三位）

這個金融場論模型像是一輛法拉利，但現在的數據基礎設施只有泥巴路。要麼簡化法拉利，要麼先鋪路。製造完全體鹹蛋超人前，先造幾個小超人看看!

閃崩機制

市場微觀結構脆弱性

• 關鍵支撐位被突破
• 同質化CTA算法
• 高槓桿持倉

流動性崩潰

• 高頻交易做市商退出
• 訂單簿枯竭
• 風險平價策略平倉

閃崩

級聯拋售

• 止損單觸發
• 算法自動賣出
• 強制清算

恐慌與暴跌

• 貴金屬跳水
• 股市暴跌
• 波動率指數飆升

💰

投機頭寸

💧

流動性稀薄

🔻

止損螺旋

🌪️

宏觀不確定性

🌐

全球傳染